Geometria Plana - ENEM - 2012 ( Matemática )


O losango representado na Figura 1 foi formado pela união dos centros das quatro circunferências tangentes, de raios de mesma medida

Figura 1

Dobrando-se o raio de duas das circunferências centradas em vértices opostos do losango e ainda mantendo- -se a configuração das tangências, obtém-se uma situação conforme ilustrada pela Figura 2.

Figura 2

O perímetro do losango da Figura 2, quando comparado ao perímetro do losango da Figura 1, teve um aumento de

A) 300%

B) 200%

C) 150%

D) 100%

E) 50%



Gabarito: E


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Geometria Plana

Princípios básicos de Geometria Plana.

Os estudos iniciais sobre Geometria Plana estão relacionados à Grécia Antiga, também pode ser denominada Geometria Euclidiana em homenagem a Euclides de Alexandria (360 a.C. - 295 a.C.), grande matemático educado na cidade de Atenas e frequentador da escola fundamentada nos princípios de Platão.

Os princípios que levaram à elaboração da Geometria Euclidiana eram baseados nos estudos do ponto, da reta e do plano. O ponto era considerado um elemento que não tinha definição plausível, a reta era definida como uma sequência infinita de pontos e o plano definido através da disposição de retas.

As definições teóricas da Geometria de Euclides estão baseadas em axiomas, postulados, definições e teoremas que estruturam a construção de variadas formas planas. Os polígonos são representações planas que possuem definições, propriedades e elementos.
Podemos relacionar à Geometria plana os seguintes conteúdos programáticos:


Ponto, reta e plano
Posições relativas entre retas
Ângulos
Triângulos
Quadriláteros
Polígonos
Perímetro
Áreas de regiões planas

Disponível em: http://www.brasilescola.com/matematica/geometria-plana.htm acesso em 18/12/13

Área de uma Região Triangular


A área de uma região triangular é dada pela seguinte fórmula:




h = medida da altura
b = medida da base
Podemos escrever: a área de uma região triangular é dada pela metade do produto da medida base pela medida da altura correspondente.

Exemplo 1 

Nem sempre podemos usar a fórmula citada anteriormente, pois em algumas situações a base ou a altura não são dadas, tendo então que recorrer à Fórmula de Heron.

Dado um triângulo de lados a, b e c temos:


Onde p é o valor do semiperímetro.

Exemplo 2

Há outra forma de calcular a área de um triângulo, quando conhecemos as medidas de dois de seus lados e a medida do ângulo formado por eles, a área da região será calculada da seguinte forma:

Exemplo 3

Disponível em: http://www.brasilescola.com/matematica/area-do-triangulo.htm acesso em 18/12/13

Ângulo formado entre duas retas


Considere duas retas distintas e concorrentes do plano, r e s, ambas oblíquas aos eixos coordenados e não perpendiculares entre si. As duas retas formam um ângulo entre si, que denominaremos de α. Esse ângulo α é tal que:





Onde ms e mr são os coeficientes angulares das retas s e r, respectivamente.
Se ocorrer de uma das retas ser vertical e a outra oblíqua, o ângulo α formado entre elas é tal que:



Exemplo 1. Determine o ângulo formado entre as retas r: x - y = 0 e s: 3x + 4y – 12 =0

Solução: Para determinar o ângulo formado entre as duas retas, precisamos conhecer o coeficiente angular de cada uma delas. Assim, vamos determinar o coeficiente angular das retas r e s.

Para a reta r, temos:

x - y = 0
y = x

Portanto, mr = 1. 

Para a reta s, temos:

Portanto, ms = -3/4 

Conhecendo os valores dos coeficientes angulares, basta aplicar a fórmula do ângulo entre duas retas:


Exemplo 2. Determine o ângulo formado entre as retas r: y = 3x + 4 e s: y = – 2x + 8.

Solução: Vamos determinar o coeficiente angular de cada uma das retas dadas.

Para a reta r, temos:
y = 3x + 4
mr = 3
Para a reta s, temos:
y = – 2x + 8
ms = – 2


Aplicando a fórmula do ângulo entre duas retas, obtemos:

Disponível em: http://www.mundoeducacao.com/matematica/angulo-formado-entre-duas-retas.htm acesso em 18/12/13

Distância entre ponto e reta

A distância entre um ponto e uma reta é calculada unindo o próprio ponto à reta através de um segmento, que deverá formar com a reta um ângulo reto (90º). Para estabelecer a distância entre os dois necessitamos da equação geral da reta e da coordenada do ponto. A figura a seguir estabelece a condição gráfica da distância entre o ponto P e a reta r, sendo o segmento PQ a distância entre eles. 

Estabelecendo a equação geral da reta s: ax0 + by0 + c = 0 e a coordenada do ponto P(x0,y0), conseguimos chegar à expressão capaz de calcular a distância entre o ponto P e a reta s:

Essa expressão surge de uma generalização feita, podendo ser utilizada nas situações em que envolve o cálculo da distância entre um ponto qualquer e uma reta.


Exemplo

Dado o ponto A(3, -6) e r: 4x + 6y + 2 = 0. Estabeleça a distância entre A e r utilizando a expressão dada anteriormente.

Temos que:
x: 3
y: -6
a: 4
b: 6
c: 2

Fonte:http://www.brasilescola.com/matematica/distancia-entre-ponto-reta.htm

Exercícios:

1. Encontre a equação da reta s, perpendicular à reta t: 2x + 3y – 4 =0, sabendo que ela passa pelo ponto P(3,4).


Solução






2. Considere no plano cartesiano uma reta r de equação 3x + 5y +1 =0 e um ponto Q de coordenadas (5,5). Determine a equação da resta s perpendicular a r passando por Q.



Solução 

Disponível em: http://exercicios.brasilescola.com/matematica/exercicios-sobre-retas-perpendiculares.htm#resposta-2407 acesso em 18/12/13

Retas perpendiculares

A característica mais conhecida de duas retas perpendiculares é que no ponto de intersecção delas é formado um ângulo reto (de medida igual a 90°), mas com o estudo da geometria analítica em cima da análise da reta é possível dizer que duas retas perpendiculares terão os seus coeficientes angulares opostos e inversos.

Considere duas retas r e s, perpendiculares no ponto C, representadas em um plano cartesiano.

Considerando o ângulo de inclinação da reta s como sendo β, então o ângulo de inclinação da reta r será 90° - β. Dessa forma teremos:

Coeficiente angular da reta s: ms = tg β

Coeficiente angular da reta r: mr = tg (90° - β)

Aplicando as fórmulas de adição de arcos é possível comparar o coeficiente angular das duas retas, veja:

tg (90° + β) = sen (90° + β) = sen90° . cos β + sen β . cos β
cos (90° + β) cos90° . cos β – sen 90° . sen β

tg (90° + β) = cos β
-sen β

tg (90° + β) = - 1
tg β

Como ms = tg β e mr = - 1 / tg β, podemos dizer que:

ms = -1 / mr ou ms . mr = -1 

Dessa forma, chegamos à conclusão de que em duas retas perpendiculares o coeficiente angular de uma das retas será igual ao oposto do inverso do coeficiente angular da outra.

Disponível em: http://www.brasilescola.com/matematica/retas-perpendiculares.htm acesso em 18/12/13